Introducción a las Reglas de Cálculo

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Breve descripción de los logarítmos, del pricipio de funcionamiento de las reglas de cálculo y de su desarrollo histórico.

¿Qué son los logaritmos?

Los logaritmos fueron inventados por el matemático escocés John Neper y publicados en 1614. Neper buscaba una forma de realizar multiplicaciones y divisiones mediante sumas y restas, mucho más faciles de realizar. Así creó un grupo de numeros 'artificiales' que sustituyen a cada numero 'real'. A cada numero 'real' le corresponde un número 'artificial' que llamó logaritmo. los logaritmos creados por Neper se basan en la constante e = 2,71828... Más tarde en 1617 el matemático Henry Briggs adaptó los logaritmos de Neper (Neperianos) a base 10 que resultan más convenientes.

En base 10, el logaritmo de 1 es 0, el logaritmo de 10 es 1, el logaritmo de 100 es 2 y así siguiendo. El logaritmo de un número entre 1 y 10 estará entre 0 y 1, el logaritmo de un número entre 10 y 100 estará entre 1 y 2, etc.

Pero lo más importante es la propiedad que permite calcular productos simplemente mediante la suma de los logaritmos de los factores:

Log (A * B) = Log(A) + Log(B)


Por ejemplo si queremos calcular: C = 10 * 100
aplicamos log en ambos miembros: Log(C) = Log(10 * 100)
aplicamos la propiedad: Log(C) = Log(10) + Log(100)
reemplazamos: Log(C) = 1 + 2
sumamos: Log(C) = 3
despejamos C: C = Antilog(3)
reemplazamos: C = 1000
   
Otro ejemplo con números no tan obvios: C = 1,22 * 4,55
aplicamos log en ambos miembros: Log(C) = Log(1,22 * 4,55)
aplicamos la propiedad: Log(C) = Log(1,22) + Log(4,55)
reemplazamos (buscando en una tabla de logaritmos): Log(C) = 0,086360 + 0,65801
sumamos: Log(C) = 0,74437
despejamos C: C = Antilog(0,744369)
reemplazamos (buscando en una tabla de logaritmos): C = 5,5510

Es decir que hemos realizado el producto sumando en vez de multiplicando. Cuando no había computadoras ni calculadoras esto representaba una ventaja enorme para los calculistas!


¿Qué es una regla de cálculo?

 
Una regla de cálculo es un instrumento maravillosamente sencillo, que consta de una sección fija (que llamaremos cuerpo) sobre la cual se desliza una parte movil (que llamaremos reglilla movil) con la ayuda de unas guías. Tanto el cuerpo como la reglilla tienen una o más escalas graduadas. Además sobre el cuerpo se desliza también el cursor, un pequeño rectángulo transparente con una línea vertical marcada que ayuda a indicar una posición sobre las escalas. Y eso es todo!

Hay muchas escalas posibles en una regla de cálculo pero enfoquemosnos en las escalas llamadas 'C' y 'D'.

La escala 'C' es una escala impresa sobre la reglilla con los números del 1 al 10, pero construída de modo tal que la distancia desde el '1' hasta el 2 es proporcional al logaritmo de 2, la distancia desde el '1' hasta el 3 es proporcional al logaritmo de 3, y así sucesivamente. Es lo que llamamos una escala logarítmica.

La escala 'D' es identica a la escala 'C', pero impresa sobre el cuerpo, es decir que es posible desplazar una escala con respecto a la otra.

Esto nos permite realizar multiplicaciones, aprovechando la propiedad de los logarítmos que dice que el logaritmo del producto de dos números A y B es igual a la suma del logaritmo de A más el logaritmo de B.

Supongamos que quemos calcular el producto 1,22 x 4,55. Desplazamos la reglilla hasta que el '1' en la escala 'C' coincida con 1,22 en la escala 'D'. Luego desplazamos el cursor hasta 4,55 en la escala 'C' y leemos el resultado en la escala 'D': 5,55! Lo que hemos hecho simplemente fue sumar las distancias de las escalas que son proporcionales a los logaritmos de los factores, y así obtuvimos el producto.

Si hicieramos la cuenta con papel y lápiz veríamos que el verdadero resultado es 5,551 pero hemos obtenido una muy buena aproximación en forma casi instantánea. Bien usada, la regla de cálculo nos da los 3 dígitos más significativos del resultado.

Realizando una diferencia entre los segmentos en las escalas es posible también realizar divisiones, y es muy fácil encadenar múltiples multiplicaciones y divisiones.

Otras escalas que aparecen en las reglas de cálculo nos permiten realizar operaciones tan complejas como cuadrados, raices cuadradas, cubos, raices cúbicas, calculo de senos, cosenos y tangentes, y sus inversas, así como logaritmos en base 10 y naturales y potencias x^y.

¿Y sumar y restar? Tal vez te sorprenda, pero la regla de cálculo no puede realizar operaciones de suma y resta, a pesar de manejar facilmente todas las operaciones mencionadas antes! (para eso se inventaron otras máquinas como por ejemplo la sumadora PICMA.


Breve línea de tiempo

  • 1614: John Neper descubre y publica sus logaritmos en base e.
  • 1617: Henry Briggs adapta los logaritmos de Neper a base 10.
  • 1620: El astrónomo inglés Edmund Gunter desarrolla un modo gráfico de resolver los productos tras dibujar una escala logarítmica. Así ya no hace falta consultar tablas.
  • pocos años después: El Reverendo William Oughtred demuestra que pueden realizarse en forma simple las operaciones de multiplicación y división, deslizando una contra la otra dos escalas de Gunter. Por ello Oughtred es considerado el inventor de la regla de cálculo, sin embargo hay cierta controversia sobre este punto.
  • 1850: Amédée Mannheim desarrolla el diseño de escalas de 25 cm de longitud y el conjunto de escalas A, B, C y D que se transforma en estandar de las reglas modernas. También se le acredita a Mannheim la invención del cursor.
  • Principios de la década de 1970: Las reglas de cálculo dejan de fabricarse debido a la creciente popularidad y capacidad de la calculadoras electrónicas.